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Latex/Généralisation N récepteurs.tex

@@ -639,7 +639,7 @@ Le fichier \texttt{Modele_N_recepteurs.py} donne une implémentation du modèle
 
 \label{cas_2_utilisateurs}
 
-On s'interesse au cas le plus simple avec 2 récepteurs. On chercher à vérifier que la forumle générale donne un résultat cohérent dans le cas connu où N = 2.\\
+On s'interesse au cas le plus simple avec 2 récepteurs. On chercher à vérifier que la formule générale donne un résultat cohérent dans le cas connu où N = 2.\\
 L'ensemble des parties de $\llbracket 1;N \rrbracket = \llbracket 1;2 \rrbracket$ vaut $\{ \{\}, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\} \}$.
 \begin{enumerate}
 \begin{item}
@@ -661,12 +661,11 @@ P_{E_2} &= \sum_S \left( \sum_{\epsilon_2} P\left( E_2 \cap S \bigcap_{i \in \ep
 &\;\;\;\;+ P\left(\frac{\eta}{g} < \sqrt{\frac{P_1}{2}} - \sqrt{\frac{P_2}{2}} \cap (r_2 > 0) \cap (r_1 < 0)\right) + P\left(\frac{\eta}{g} < -\sqrt{\frac{P_1}{2}} - \sqrt{\frac{P_2}{2}} \cap (r_2 > 0) \cap (r_1 > 0)\right)\\
 &= \frac{1}{4}P\left(\frac{\eta}{g} > \sqrt{\frac{P_1}{2}} + \sqrt{\frac{P_2}{2}}\right) + \frac{1}{4}P\left(\frac{\eta}{g} > -\sqrt{\frac{P_1}{2}} + \sqrt{\frac{P_2}{2}}\right)\\
 &\;\;\;\;+ \frac{1}{4}P\left(\frac{\eta}{g} < \sqrt{\frac{P_1}{2}} - \sqrt{\frac{P_2}{2}}\right) + \frac{1}{4}P\left(\frac{\eta}{g} < -\sqrt{\frac{P_1}{2}} - \sqrt{\frac{P_2}{2}}\right)\\
+&= \frac{1}{2} Q\left(\left(\sqrt{\frac{P_1}{2}} + \sqrt{\frac{P_2}{2}}\right)\frac{g}{\sigma}\right) + \frac{1}{2} Q\left(\left(-\sqrt{\frac{P_1}{2}} + \sqrt{\frac{P_2}{2}}\right)\frac{g}{\sigma}\right)
 \end{split}
 \end{equation*}
 \end{item}
 
-\pagebreak
-
 \begin{item}
 Pour n = 1 :\\
 Par définition, $\epsilon_1$ varie dans $\{ \{\}, \{2\}\}$. Donc :\\
@@ -711,6 +710,11 @@ P_{E_1} &= P\left(\frac{\eta}{g} > -\left(r_1 + 2r_2\right) \cap (r_2 < 0) \cap
 &\;\;\;\;+ \frac{1}{8}P\left(\sqrt{\frac{P_1}{2}} - 2\sqrt{\frac{P_2}{2}} < \frac{\eta}{g} < \sqrt{\frac{P_1}{2}} - \sqrt{\frac{P_2}{2}}\right) + \frac{1}{8}P\left(\frac{\eta}{g} < -\sqrt{\frac{P_1}{2}} - 2\sqrt{\frac{P_2}{2}}\right)\\
 &\;\;\;\;+ \frac{1}{8}P\left(\sqrt{\frac{P_1}{2}} < \frac{\eta}{g} < \sqrt{\frac{P_1}{2}} + \sqrt{\frac{P_2}{2}}\right) + \frac{1}{8}P\left(\frac{\eta}{g} < -\sqrt{\frac{P_1}{2}}\right)\\
 &\;\;\;\;+ \frac{1}{8}P\left(\frac{\eta}{g} > \sqrt{\frac{P_1}{2}}\right) + \frac{1}{8}P\left(-\sqrt{\frac{P_1}{2}} - \sqrt{\frac{P_2}{2}} < \frac{\eta}{g} < -\sqrt{\frac{P_2}{2}}\right)\\
+&= \frac{1}{4} Q\left(\left(\sqrt{\frac{P_1}{2}} + 2\sqrt{\frac{P_2}{2}}\right)\frac{g}{\sigma}\right)\\
+&\;\;\;\;+ \frac{1}{4} Q\left(\left(-\sqrt{\frac{P_1}{2}} + \sqrt{\frac{P_2}{2}}\right)\frac{g}{\sigma}\right) - \frac{1}{4} Q\left(\left(-\sqrt{\frac{P_1}{2}} + 2\sqrt{\frac{P_2}{2}}\right)\frac{g}{\sigma}\right)\\
+&\;\;\;\;+ \frac{1}{8} Q\left(\left(\sqrt{\frac{P_1}{2}}\right)\frac{g}{\sigma}\right) - \frac{1}{8} Q\left(\left(\sqrt{\frac{P_1}{2}} + \sqrt{\frac{P_2}{2}}\right)\frac{g}{\sigma}\right)\\
+&\;\;\;\;+ \frac{1}{8} Q\left(\left(-\sqrt{\frac{P_1}{2}} - \sqrt{\frac{P_2}{2}}\right)\frac{g}{\sigma}\right) - \frac{1}{8} Q\left(\left(-\sqrt{\frac{P_2}{2}}\right)\frac{g}{\sigma}\right)\\
+&\;\;\;\;+ \frac{1}{8} \left(1 - Q\left(-\sqrt{\frac{P_1}{2}}\frac{g}{\sigma}\right)\right) + \frac{1}{8} Q\left(\sqrt{\frac{P_2}{2}}\frac{g}{\sigma}\right)
 \end{split}
 \end{equation*}
 \end{item}